学校を卒業して何年も経ちますが、今でも数学を勉強したりします。高木先生の「解析概論」は解析学の名著ですね。何度も読み返しています。まぁ、理由は「分からないから」なんですが。。。
解析概論では、実数の連続性の説明から始まり、関数の連続性についての説明が続きます。実数の連続性は、Dedekindの切断とか、有界な単調数列が収束するとかで説明されます。関数の連続性は、epsilon-delta論法で説明されるアレです。
簡単にepsilon-delta論法を復習すると、関数 f(x) が x = a で連続であるとは、
「任意の epsilon > 0 に対し、ある delta > 0 が存在し、|x - a| < delta なら、|f(x) - f(a)| < epsilon となる。」
って感じです。
なかなかに分かりにくいですね。グラフで描いてやるともう少し分かりやすいと思います。
試しに、f(x) = xとしてやりましょう。すると、
「任意の epsilon > 0 に対して、ある delta > 0が存在し、|x - a| < delta なら、|x - a| < epsilon となる。」
となります。明らかに、delta = epsilon とすればいいので、
「任意の epsilon > 0 に対して、|x - a| < epsilon となる。」
となります。
これが関数 f(x) = x が、x = a で連続ということです。
・・・
お気づきになったでしょうか？
今の例では、f(x) は、ただの実数を意味する関数ですが、f(x) の関数としての連続性には、実数の連続性の議論は必要ありません。この論法では、x と f(x) は有理数のみで定義されていてもいいんです。
(ここで必要なのは、実数が"連続"であることではなく、"稠密"であることです。)
どちらかというと私は物理系なんで、物理屋さんの立場で考えてみます。
epsilon-delta論法は物理屋さんの立場で考えると、誤差がepsilonってことです。つまり、実験の誤差や精度よりも小さい値はゼロと同じということです。
また、物理実験で扱うのは有理数です。無理数を表すには無限の桁が必要なので使えません。もちろん、物理の理論には無理数も出てきますが、実用上は有理数のみの世界でも十分です。
というわけで、解析学の理論が有理数のみの世界で成立してくれている方が、物理学にはしっくりきます。(私見ですが。)
「ンなこと言っても、有理数だけだと、root 2 すら無いんでダメでしょう。」
ごもっともです。
有理数の世界にあるのは、せいぜい root 2 に近い有理数です。任意の epsilon に対し、|root 2 - x| < epsilon となる有理数 x が存在します。
・・・
解析学の世界では、任意の epsilon より小さい数はゼロと同等です。じゃ、root 2 に近い有理数があるからいいじゃん、となります。
うーん。
いろいろ考えてみたのですが、実数の連続性の説明に出てくる、Dedekindの切断とか、有界な単調数列の収束とかは、微分・積分の説明には不要な気がします。
root 2 みたいな無理数の存在を説明するとか、実数が完備である、つまり数列の収束先が実数になるといったことを考えるなら、実数の連続性の議論が必要です。有理数の数列の収束先は有理数の世界では収まらないからです。
ですが、微積分の理論を考えるだけなら、関数の連続性だけあればいいので、有理数だけでもいいんじゃないでしょうか？収束先は有理数の世界からはみ出ちゃいますが、epsilon-delta論法を使うなら、収束先の無理数にたどり着かなくてもOKなのではないでしょうか？。
実数の連続性がないと困るのはRolleの定理とかでしょうか。証明の中で最大値の存在を利用しているので、実数の連続性が必要になります。有理数だけの世界だと最大値が存在しない (無理数になっちゃう) という場合があります。
まぁ、いくらでも最大値に近い有理数が存在するから、なんとかなるっぽいですが。。。
Wikipediaを見ても、epsilon-delta論法は”実数”に適用しているんですが。。。どうなんでしょうね。
まぁ、こんなことを悩んでいる変人は私くらいですかね。。。
