数学が少しできる人とすごくできる人

　フェルマーの小定理という有名な数論の定理があります。その昔、私も学生の頃に勉強したのですが、先日、暇つぶしにWikipediaで調べてみました。

--- フェルマーの小定理 ---

pを素数、aをpと互いに素な整数とする。このとき、a^( p - 1) ≡ 1 (mod p)。

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　証明の一部を、Wikipediaから引用すると、

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集合 {1, 2, 3,..., p−1} は、全体として法 p の下で {a, 2a, 3a,..., (p−1)a} と合同である。

なぜなら、もし後者の集合内に

 i a ≡ j a ( mod p)

となる i, j ( i ≠ j) が存在したとする。

すると、a と p は互いに素なので i ≡ j ( mod p) となり、0 < i, j < p であることから、i = j となり、矛盾する。

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　私は、「すると～」のところを理解するのに、少し時間がかかりました。

　途中式を書くと、

 i a ≡ j a (mod p)

 => i a - j a = ( i - j) a = k p (kは適当な数)

a と p は互いに素なので、( i - j) が p の倍数。つまりi ≡ j (mod p)。

　たぶん、数学ができる人には途中式は不要でしょう。それくらい訓練を積んでいると思います。

　私のように、少し数学ができるといった程度だと、途中式が必要になるわけです。まだまだ修行不足だなぁと思った次第です。

　まぁ、数学に興味ない人は、そもそもフェルマーの小定理を読んでみようとすら思わないんですが。。。